گانه طرح بلوکی و وجود ترید مسأله اشتراک

فرض کنید ‎$v,k,t$‎ سه عدد طبیعی باشند‏‏، به طوری که ‎$v>k>t$‎ و ‎$x$‎ یک ‎$v$‎-مجموعه باشد. اگر ‎$t_1$‎ و ‎$t_2$‎ دو گردایه ای مجزا از بلوک های ‎$k$‎-تائی باشند‏، به گونه ای که هر ‎$t$‎-تایی به تعداد یکسان در هر دو دسته ظاهر شود، آن گاه ‎$t={t_1,t_2}$‎ را یک ‎$(v,k,t)$‎ ترید‎‎ گوییم. یک ‎$ (v,k,t)$‎ ترید را اشتاینری گوییم‏، هر گاه هر دوتایی حداکثر یک مرتبه در ‎$(t_2)t_1$‎ ظاهر شود. ‎‎ ‎$‎(mugeq2) mu‎$ ‎گردایه از بلوک ها را در نظر بگیرید، به گونه ای که هر دوی آن تشکیل یک $(v,k,t)$‎‎‎ ترید دهند، به این خانواده از گردایه ها یک ‎$ mu-(v,k,t) $‎ ترید و یا به اختصار ترید ‎$mu‎$‎‎گانه گوییم. یک ‎$ mu-(v,k,t) $‎ ترید را اشتاینری گوییم‏، هر گاه هر دوتایی حداکثر یکبار در ‎$t_1(t_i, 2leq ileq mu)$‎ ظاهر شود. منظور از ‎$mathcal{s}_{mu}(t,k)‎$‎‎‎‎‎‏‎ $‎(mathcal{s}_{mu s}(t,k)) $‎ طیف حجم ترید سه گانه (ترید سه گانه اشتاینری) است، به عبارتی دیگر مقادیری که ‎$ mu-(v,k,t) $ ترید از آن حجم وجود دارد. در این رساله نشان می دهیم: $mathcal{s}_{3}(2,k)$‎ شامل ‎$mathbb{n}setminus{1,2,3,4,5}$‎, به جز احتمالا ‎7 ‎‎‏می باشد.‎ همچنین ‎ $mathcal{s}_{3}(2,3)‎$‎ و $s_{3s}(2,k)‎$‎ برای ‎$‎‎‎‎k=3,4$‎ به‎ طور کامل مشخص شده اند. در رابطه با ‎$ mu-(v,k,t) $ تریدهای اشتاینری‏، برای هر اندازه بلوک دلخواه نیز به این نتایج دست یافته‎‏ ایم:‎‎ ‎$s_{3s}(2,k)subseteq mathbb{n}setminus{1,2,dots,3k-4}$‎ ‎‏برای ‎$k e 4$‎‏، ‎$‎m‎ otin s_{3s}(2,k)$‎ برای ‎$3k-3leq mleq4k-7$‎‏‏، ‎$m e 3t$ و $kgeq 8$.‎ همچنین با استفاده از مجموعه های منحصراً‎ متوازن موفق به ساخت تریدهای سه گانه اشتاینری از حجم ‎$m=rn$‎ برای ‎$n otin{1,2,5}$‎ و ‎$rgeq3(k-1)$‎ یا ‎$r=k-1$‎ شدیم. موضوع ترید به صورت گسترده ای با بحث اشتراک طرح های بلوکی مرتبط است. از این ر‎‏و مسأله اشتراک سه طرح ‎$‎s‎(2,‎4,v‎)$ در این پایان نامه بررسی شده است. ‎‎ دو طرح بلوکی ‎$(v_1,b_1)$‎ و ‎$(v_2,b_2)$‎ در ‎$k$‎ بلوک اشتراک دارند‏، اگر ‎‎$‎ .‎|b_1cap b_2|=k $‎ ‎‏مسأله‎ اشتراک به این صورت تعمیم می یابد‏، $ mu $‎ طرح بلوکی در ‎ ‎$ k$‎ بلوک اشتراک دارند، هر گاه هر دوی آن ها در ‎$ k $‎ بلوک یکسان مشترک باشند. ‎‎‏همان گونه که می دانیم ‏، تنها برای ‎ ‎$‎v‎equiv1,4 ({ m{mod}} 12)$ یک طرح ‎$‎s‎(2,‎4,v‎)$ وجود دارد. تعداد بلوک های این طرح را با‎ ‎$‎‎b_v$‎ نمایش می دهیم. در این صورت اگر مجموعه طیف اشتراک سه طرح ‎ ‎$‎s‎(2,‎4,v‎)$‎ را با ‎$j_{3}[v]$‎ نمایش دهیم و تعریف کنیم: ‎‎ $‎i_{3}[v]=‎{0,dots,b_v}‎setminus‎‎{‎b_v-7,b_v-6,b_v-5,b_v-4,b_v-3,b_v-2,b_v-1‎}‎$.‎ ‎‏آن گاه نتیجه اصلی به دست آمده‏، عبارت است از $ j_{3}[v]=i_{3}[v]$‎ برای هر ‎$vgeq49$‎‏ و‎ ‎$‎v‎equiv1,4 ({ m{mod}} 12)$‎.‎‎ زمانی که $‎vl‎eq49$‎‏، ‎$‎j_{3}[13]‎$‎ ‏‎‏و $‎j_{3}[16]‎$ به‎‎ طور کامل مشخص شده است و برای ‎‏ $‎vin{‎25,28,37}‎‎‎‎‎$‎ مقادیری از $‎j_{3}[‎v‎]‎$‎ ‏مشخص شده است.